Question

初中数学问题 有关几何 急需急需急需急需急需急需急需！！！！！！！！！！！！！1

等腰直角三角形ABC中，D、E是线段AC上的两动点，且AD=EC，AP垂直于BD于P，叫BC于点Q，直线BD交直线QE于点F，判断三角形DEF的形状并证明。具体如图

Answer 1

△DEF是等腰三角形，且 FD=FE.
过 C 作 AC 垂线，交 AQ 延长线于点 R.
因为 AQ⊥BD，∠BAC=∠APB=90°，所以 ∠PAD=∠ABD.
因此，在两个直角三角形：△ABD与△CAR中，AB=AC，∠BAD=∠ACR=90°，∠ABD=∠CAR，所以 △ABD≌△CAR，从而 ∠ADB=∠R (1)
以及 AD=CR (2)
又因为 AD=EC，所以由(2)即知 CE=CR，再由 CQ=CQ，∠ECQ=∠RCQ=45°，所以△ECQ≌△RCQ，因此 ∠CEQ=∠R (3)
由对顶角相等，∠FDE=∠ADB，∠FED=∠CEQ=∠R，所以由(1)可知 ∠FDE=∠FED.因此△DEF是等腰三角形。

无法进一步判断△DEF是等腰直角三角形或者等边三角形。因为D,E是动点，∠ADB的大小不能确定，所以无法判断。

Answer 2

△DEF是等腰三角形。详细证明如下：

过C作CM⊥AC交AQ的延长线于M。（图略）

∵在△ABD中，AP⊥BD，∴易证：∠ABD=∠CAM

又∵AC=AB，∠BAD=∠ACM，∴△BAD≌△ACM，

∴AD=CM，

又∵AD=CE，

∴CE=CM，

在△CEQ和△CMQ中，CE=CM，∠ECQ=∠MCQ=45度，CQ=CQ，

∴△CEQ≌△CMQ，

∴∠CEQ=∠CMQ，

又∴△BAD≌△ACM，∴∠ADB=∠CMQ，

∴∠CEQ=∠ADB，

易知：∠CEQ=∠FED，∠FDE=∠ADB， ∴ ∠FDE=∠FED，

∴ FD=FE

所以，△DEF是等腰三角形。

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