Question

4÷y² 1÷x²的最小值为什么不能直接大于等于4÷xy？

Answer 1

根据基本不等式原理：a+b≥2√ab，（a>0,b>0），先做如下两种假设：
（1）题目是：4/y²+1/x²，设xy=a>0，则：
4/y²+1/x²
=4xy/ay²+xy/ax²
=4x/ay+y/ax
≥2√（4x/ay）（y/ax）
=4/a
=4/xy
注意了：要满足xy>0

（2）题目是：4/y²-1/x²
就不能用基本不等式去解了，因为1/x²≥0，所以上式当1/x²取得最大值的时候原式才会有最小值，此时就必须给出x和y的取值范围才能确定原式的最小值。

Answer 2

xy是定值吗?

Answer 3

4÷y²+1÷x²=(2/y)²+(1/x)²，

是否大于等于4÷xy=4/xy，需要对x、y的正负进行讨论。

xy>0>-xy时，(2/y-1/x)²≥0，

(2/y)²+(1/x)²-4/xy≥0，

(2/y)²+(1/x)²≥4/xy；

xy<0<-xy时，(2/y+1/x)²≥0，

(2/y)²+(1/x)²+4/xy≥0，

(2/y)²+(1/x)²≥-4/xy>0>4/xy。