Question

求解一阶线性微分方程

详解

Answer 1

形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
中文名称
一阶线性微分方程
定义
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分
分类
当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0
解法
求解这类方程一般采用常数变易法
分类
当Q(x)≡0时，方程为y'+P(x)y=0，这时称方程为一阶齐次线性微分方程。(因为y'是关于y及其各阶导数的1次的，P(x)y是一次项，它们同时又是关于x及其各阶导数的0次项，所以为齐次。)

当Q(x)≠0时，称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。(由于Q(x)中未含y及其导数，所以是关于y及其各阶导数的0次项，因为方程中含一次项又含0次项，所以为非齐次。)。

解法
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法，通过判迟念常数变易法，可求出一阶线性微分方程的通解。

一阶齐次线性微分方程的通解
对于一阶齐次线性微分方程:

其通解形式为:

其中C为常数，由函掘困数的初始条件决定

一阶非齐次线性微分方程的通解
对于一阶非齐次线旦悔性微分方程:

其对应齐次方程:

解为:

令C=u(x)，得:

带入原方程得:

对u'(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为:

其中C为常数，由函数的初始条件决定

Answer 2

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Answer 3

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Answer 4

x ≠ 0 时， 微分方程变为 y'-3y/x = x^3e^x 为一阶线性微分方程肢尺，
y = e^(∫3dx/x) [∫x^3e^xe^(-∫3dx/x)dx + C]
= x^3(∫e^xdx + C) = x^3(e^x+C)
x = 0 时态销， y = 0， 上述解也满足。故通解是帆饥游 y = x^3(e^x+C)