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形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程,Q(x)称为自由项。一阶,指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性,指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
中文名称
一阶线性微分方程
定义
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分
分类
当Q(x)≡0时,方程为y'+P(x)y=0
解法
求解这类方程一般采用常数变易法
分类
当Q(x)≡0时,方程为y'+P(x)y=0,这时称方程为一阶齐次线性微分方程。(因为y'是关于y及其各阶导数的1次的,P(x)y是一次项,它们同时又是关于x及其各阶导数的0次项,所以为齐次。)
当Q(x)≠0时,称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。(由于Q(x)中未含y及其导数,所以是关于y及其各阶导数的0次项,因为方程中含一次项又含0次项,所以为非齐次。)。
解法
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法,通过常数变易法,可求出一阶线性微分方程的通解。
一阶齐次线性微分方程的通解
对于一阶齐次线性微分方程:
其通解形式为:
其中C为常数,由函数的初始条件决定
一阶非齐次线性微分方程的通解
对于一阶非齐次线性微分方程:
其对应齐次方程:
解为:
令C=u(x),得:
带入原方程得:
对u'(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为:
其中C为常数,由函数的初始条件决定
中文名称
一阶线性微分方程
定义
形如y'+P(x)y=Q(x)的微分
分类
当Q(x)≡0时,方程为y'+P(x)y=0
解法
求解这类方程一般采用常数变易法
分类
当Q(x)≡0时,方程为y'+P(x)y=0,这时称方程为一阶齐次线性微分方程。(因为y'是关于y及其各阶导数的1次的,P(x)y是一次项,它们同时又是关于x及其各阶导数的0次项,所以为齐次。)
当Q(x)≠0时,称方程y'+P(x)y=Q(x)为一阶非齐次线性微分方程。(由于Q(x)中未含y及其导数,所以是关于y及其各阶导数的0次项,因为方程中含一次项又含0次项,所以为非齐次。)。
解法
一阶线性微分方程的求解一般采用常数变易法,通过常数变易法,可求出一阶线性微分方程的通解。
一阶齐次线性微分方程的通解
对于一阶齐次线性微分方程:
其通解形式为:
其中C为常数,由函数的初始条件决定
一阶非齐次线性微分方程的通解
对于一阶非齐次线性微分方程:
其对应齐次方程:
解为:
令C=u(x),得:
带入原方程得:
对u'(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为:
其中C为常数,由函数的初始条件决定
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x ≠ 0 时, 微分方程变为 y'-3y/x = x^3e^x 为一阶线性微分方程,
y = e^(∫3dx/x) [∫x^3e^xe^(-∫3dx/x)dx + C]
= x^3(∫e^xdx + C) = x^3(e^x+C)
x = 0 时, y = 0, 上述解也满足。故通解是 y = x^3(e^x+C)
y = e^(∫3dx/x) [∫x^3e^xe^(-∫3dx/x)dx + C]
= x^3(∫e^xdx + C) = x^3(e^x+C)
x = 0 时, y = 0, 上述解也满足。故通解是 y = x^3(e^x+C)
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