Question

求二重积分

Answer 1

第一步：积分区域。
由x=0,y=1,x+y=e三条直线围成的直角三角形区域。三角形的三个顶点分别为(0,e),(e-1,1),(0,1)。
第二步：积分次序及上、下限
1、若先积dx后积dy：dx的积分下限为0，积分上限为e-1；dy的积分下限为1，dy的积分上限为e-x。
2、若先积dy后积dx：dy的积分下限为1，积分上限为e；dx的积分下限为0，dx的积分上限为e-y。
3、经观察，先积dy后积dx更容易些。
第三步：求二重积分
1、采用分部积分法求ln(x+y)dx在[0,e-y]上的积分。
ln(x+y)dx的积分
=ln(x+y)d(x+y)的积分
=[(x+y)ln(x+y)-(x+y)]|(0,e-y)
=0-(ylny-y)
=y-ylny
2、求y-lny在[1,e]上的积分。
(y-ylny)dy的积分
=y^2/2|(1,e)-ylnydy的积分
=(e^2-1)/2-(y^2lny/2-y^2/4)|(1,e)
=(e^2-1)/2-[(e^2/2-e^2/4)-(0-1/4)]
=(e^2-1)/2-(e^2/4+1/4)
=(e^2-3)/4

Answer 2