Question

大神，这道圆锥曲线题怎么做？最好可以吧一整道题做出来，谢谢

Answer 1

第一问就是送分题。题目说圆和l切于(-1,0)，说明(-1,0)就在l上，那不就是-p/2=-1吗？准线方程你不要告诉我你不知道是x=-p/2。所以第一问自己写
第二问，说实话，这道题在高考中绝对不会出现，你没有必要做。因为有关抛物线切线的题目，抛物线一定是以y轴为对称轴，一定是x²=2py。因为有切线，想到求导，而你学过的是y=f(x)求导，学过x=g(y)求导吗？x=y²/2p，导数y'是多少？所以出这道题的人非常不负责任。
这个要证明的结论小题可以用，过抛物线上一点P作抛物线的切线，交准线于Q。F是抛物线的焦点，则PF⊥QF。如果要用解析几何的方法证明，你必须知道过y²=2px上一点(x0,y0)的切线是y0y=p(x+x0)。切线方程请你背下来，考试的时候虽然不可以直接用，但你可以简单说明就是联立直线和抛物线，消去x得到关于y的一元二次方程判别式为0，即直线和抛物线只有一个交点，所以是切线。
接下来就简单了，设M(x0,y0)，则切线为y0y=2(x+x0)，与准线交于N(-1,2(x0-1)/y0)。自己写MF向量和NF向量，它们内积为0，所以垂直。

Answer 2

抛物线准线 L 方程 ：x = -p/2 = -1, 得 p = 2,
则抛物线 C 方程： y^2 = 4x, 焦点 F(1, 0)。
以过焦点 F 的弦 AB 为直径的圆, 切准线于点 T(-1, 0) , 则 AB // Oy
|AB| = 4，圆心为 F， 圆方程 ：(x-1)^2+y^2 = 4.
取准线 L 上点 M(-1, m), 作抛物线 C 的切线，设切点 N(n^2/4, n)
则 MN 斜率 K = (n-m)/(n^2/4+1),
另： y^2 = 4x， 2yy' = 4， y' = 2/y = 2/n,
(n-m)/(n^2/4+1) = 2/n, 故得 m = n/2-2/n
NF 斜率 k1 = n/(n^2/4-1), MF 斜率 k2 = m/(-2) = -(n/4-1/n),
K2k1 = - (n/4-1/n)n/(n^2/4-1) = -1, 得 NF ⊥ MF。

追问

为什么AB⊥x轴啊

追答

切点 T 在 x 轴上，圆心则在 x 轴上。圆心是 AB 中点， 只有 AB ⊥ Ox。