Question

积分证明题

图中这道证明如何求证？

Answer 1

分享一种解法。其详细过程是，由积分中值定理，有∫(0,1)f(x)dx=(1-0)f(a)=f(a)，其中a∈(0,1)。
∴f(2)+f(3)=2f(a)，即f(2)-f(a)=-[f(3)-f(a)]。
设g(x)=f(x)-f(a)。∴g(2)=f(2)-f(a)，g(3)=f(3)-f(a)。∴g(2)*g(3)=[f(2)-f(a)]*[f(3)-f(a)]=-[f(2)-f(a)]²<0【“=”成立时，显然结论成立】。
∴由介值定理可知，g(x)在x∈(2,3)时，至少存在一点b使g(b)=0。又，g(a)=f(a)-f(b)=0。∴g(x)在x∈(a,b)满足罗尔定理条件，存在一点ξ使g'(ξ)=0成立。
而，g'(x)=f'(x)，且ξ∈(a,b)∈(0,3)。∴x∈(0,3)时，至少有一点ξ使f'(ξ)=0成立。
供参考。

Answer 2

首先设f(x)0到1积分的值为常数C。
由积分中值定理，
C=f(x)0-1积分=f(x1)*(1-0). 0<x1<1.
由介值定理，
fx在[2,3]区间有最小值m,最大值M，
给一个任意数α∈(m<M),都存在数 x∈(2,3),使得f(x)=α.
这题目里积分=C=(f2+f3)/2正好是属于(m,M),
所以存在x2∈(2,3)，使得f(x2)=C.
剩下的用罗尔定理，
因为f(x1)=f(x2),
所以存在 ξ∈(x1,x2),使得f'(ξ)=0.