Question

高数中值定理

Answer 1

令g(x)=f(x)-x,g(0)=0,g(1)=-1,g(1/2)=1/2,由介值定理(这里也可以是零点定理）可知在x=1/2到1之间有一点可使得g(x)等于0,再由罗尔定理易知：在（0,1）上有一点可使得g'(x)=0,那么g'(x)=f'(x)-1=0,即：f'(x)=1

Answer 2

取区间[a,b]的中点(a+b)/2 根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,(a+b)/2)，使得 f'(ξ)=[f((a+b)/2)-f(a)]/[(a+b)/2-a]=2[f((a+b)/2)-f(a)]/(b-a) 令g(x)=x^2，则根据柯西中值定理，存在η∈((a+b)/2,b)，使得 f'(η)/g'(η)=[f(b)-f((a+b)/2)]/[g(b)-g((a+b)/2)] f'(η)/2η=[f(b)-f((a+b)/2)]/[b^2-(a+b)^2/4]=4[f(b)-f((a+b)/2)]/(3b+a)(b-a) 所以f'(ξ)/(3b+a)+f'(η)/4η =2[f((a+b)/2)-f(a)]/(b-a)(3b+a)+2[f(b)-f((a+b)/2)]/(3b+a)(b-a) =2[f(b)-f(a)]/(b-a)(3b+a) =0

追问

我发的题目怎么写