Question

问几个数学问题

1.已知二次函数f (x)对任意x∈R，都有f (1-x)=f (1+x)成立，设向量a= ( sinx,2),b=(2sinx,1/2)，c=(cos2x,1),d=(1,2),当x∈[ 0,π]时，求不等式f (a*b) ＞f (c*d)的解集。（求过程）
2．已知a=(cosα，sinα)，b=(cosβ,sinβ)，a与b之间有关系式│ka+b│=根号三倍│a-kb│,其中k＞0
(1).用k表示a、b
（2）.求a*b的最小值，并求此时a与b的夹角γ的大小。（求过程）
3.20个下岗职工开了50亩荒地，这些地可以种蔬菜、棉花、水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计的产值如下：
每亩需劳力 每亩预计产值
蔬菜 1/2 1100元
棉花 1/3 750元
水稻 1/4 600元

问怎样安排，才能让每亩地都种上作物，所有职员都有工作，而且农作物的预计总产值达到最高?

Answer 1

1.f(1-x)=f(1+x)可以推出此函数的对称轴为X=1
a·b=2(sinθ)^2+1 c·d=cos2θ+2 = 3-2(sinθ)^2
(1)当函数开口向上时 (a·b) (c·d)均在对称轴为X=1右边,此时对称轴右侧为增函数,所以a·b>c·d,所以2(sinθ)^2+1>3-2(sinθ)^2 所以(sinθ)^2> 1/2
又∵θ∈[0，π],所以θ∈(π/4，3π/4)
(2)当函数开口向下时(a·b) (c·d)均在对称轴为X=1右边,此时对称轴右侧为减函数,所以a·b<c·d ,所以2(sinθ)^2+1<3-2(sinθ)^2 所以(sinθ)^2< 1/2
又∵θ∈[0，π],所以此时θ∈[0，π/4)U(3π/4，π]

2.解：a·b=cosαcosβ+sinαsinβ
│ka+b│^2=k^2+2k(cosαcosβ+sinαsinβ)+1
(√3│a-kb│)^2=3+3k^2-6k(cosαcosβ+sinαsinβ））

综上整理可得a·b=1/4k+1/(4k)

(2)基本不等式a·b≥2√(1/4k×1/(4k))=1/2,即a·b＝1/2,又因为a·b=│a││b│cosθ,其中│a│=│b│=1,所以cosθ=1/2，所以θ=60°

3.设种蔬菜、棉花、水稻分别为x亩，y亩，z亩，总产值为u，
依题意得x+y+z=50， ，则u=1100x+750y+600z=43500+50x.
∴ x 0,y=90-3x 0,z=wx-40 0,得20 x 30,
∴当x=30时，u取得大值43500，此时y=0,z=20.
∴安排15个职工种30亩蔬菜，5个职工种20亩水稻，可使产值高达45000元。

希望可以帮助你啦~