Question

一道高数题，如图18题，我想知道这个可不可以用极坐标求？

要是可以，求解题过程，如果不可以，请说一下理由，谢谢

Answer 1

可以用极坐标计算。详细过程是，
∵y=x²与x²+y²=2的交点为(1,1)、(-1,1)。把该交点与原点O连接，则将y≥x²与x²+y²≤2所围成闭区域D分成了三部分：y=±x与y=x²、y=±x与x²+y²≤2。
∴设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴D={(θ,ρ)丨0≤θ≤π/4,0≤ρ≤secθtanθ}∪{(θ,ρ)丨π/4≤θ≤3π/4,0≤ρ≤√2}∪{(θ,ρ)丨3π/4≤θ≤π,0≤ρ≤secθtanθ}。
再利用积分区间对称，xy为x的奇函数，∴原式=∬Dx²dxdy。
∴原式=∫(0,π/4)dθ∫(0,secθtanθ)cos²θp³dρ+∫(π/4,3π/4)dθ∫(0,√2)cos²θp³dρ +∫(3π/4,π)dθ∫(0,secθtanθ)cos²θp³dρ=π/4-2/5。
供参考。