Question

高数题求解

Answer 1

求过点M(1，0，-2)且与平面π： 3x+4y-z+6=0平行，又与直线L₁： (x-3)/1=(y+2)/4=z/1
垂直的直线方程。
解：直线L₁的方向矢量N₁={1，4，1}；那么过M(1，0，-2)且以N₁为法向矢量的平面α必垂
直于直线L₁，平面α的方程为：(x-1)+4(y-0)+(z+2)=x+4y+z+1=0............①
平面α上的任何直线都垂直于L₁；设Q(x₁，y₁，z₁)是平面α上的一个点，因此其坐标满足方
程①，即有x₁+4y₁+z₁+1=0...........②； 矢量MQ={x₁-1，y₁，z₁+2}在平面α上，设它平行
于平面π，因此MQ⊥平面π的法向矢量N₂={3，4，-1}；
∴ 数量积MQ•N₂=3(x₁-1)+4y₁-(z₁+2)=3x₁+4y₁-z₁-5=0............③
②+③得：4x₁+8y₁-4=4(x₁+2y₁-1)=0，即有x₁+2y₁-1=0............④
任取x₁=3，代入④则得y₁=-1；再将x₁，y₁之值代入②式，即得z₁=-x₁-4y₁-1=-3+4-1=0；
于是求得一点Q(3，-1，0)； 这时矢量MQ={3-1，-1-0，0-(-2)}={2，-1，2}；
那么过M(1，0，-2)且以MQ为方向矢量的直线L的方程为：(x-1)/2=y/(-1)=(z+2)/2；
此方程即为所求。