（1）、如图所示，因为在等腰直角△ABE和等腰直角△ACF中有AB=AE，AC=AE，
所以可将△ABD绕点A旋转至△AEH处，将△ACD绕点A旋转至△AFI处。
因为△ABD≌△AEH，△ACD≌△AFI，点D为BC中点，所以AD=AH=AI，EH=BD=CD=FI，
∠ADB=∠H，∠ADC=∠I，∠BAD=∠EAH，∠CAD=∠FAI，
有∠DAH=∠BAD+∠BAH=∠EAH+∠BAH=90°，∠DAI=∠CAD+∠CAI=∠FAI+∠CAI=90°，
可知点H、A、I在同一直线上，且由∠H+∠I=∠ADB+∠ADC=180°，可知EH∥FI，
因为EH平行且等于FI，所以四边形EFIH为平行四边形，有EF∥HI，
又因为∠DAH=∠DAI=90°，即DG⊥HI，所以DG⊥EF，且EF=HI=AH+AI=2AD。
（2）、如图所示，因为在等腰直角△ABE和等腰直角△ACF中有AB=AE，AC=AE，
所以可将△AEG绕点A旋转至△ABH处，将△AFG绕点A旋转至△ACI处。
因为△AEG≌△ABH，△AFG≌△ACI，DG⊥EF，所以AG=AH=AI，EG=BH，FG=CI，
∠H=∠AGE=∠AGF=∠I=90°，∠EAG=∠BAH，∠FAG=∠CAI，
有∠GAH=∠EAG+∠EAH=∠BAH+∠EAH=90°，∠GAI=∠FAG+∠EAI=∠CAI+∠EAI=90°，
可知点H、A、I在同一直线上，在直角梯形BCIH中因为AH=AI，
且∠GAH=∠GAI=90°，即AD∥BH∥CI，所以AD为直角梯形BCIH的中位线，
所以点D为BC中点，且由梯形中位线性质可知EF=EG+FG=BH+CI=2AD。
如图：
延长AD到M，使AD=DM，连BM、CM
得： ABMC为平行四边形。CM=AB=AE
又：<EAF+<BAC=360-2*90=180=<BAC+<ACM
<EAF=<ACM
AC=AF
所以：三角形EAF全等于MCA （SAS）
<DAC=<AFG
<DAC+<FAG=180-90=90
有： <AFG+<FAG=90,
<AGF=90
即：DG垂直EF
9.【解析】：
∵延长AD到G，
又∵使DG＝AD，
∵连接BG，CG。
又∵AD是BC的中线，
∴BD＝CD，
∴四边形ABGC是平行四边形。
∴BG＝AC，
∴∠ABG＋∠BAC＝180°。
∵△ABE和△ACF是等腰直角三角形，
∴AB＝AE，
∴AC＝AF，
∴∠BAE
＝∠CAE
＝90°，
∴∠BAC＋∠EAF＝180°，
∴BG＝AF，
∴∠ABG＝∠EAF，
∴△ABG≌△EAF（SAS），
∴AG＝EF，
∵AD＝DG，
∴即
∴AG＝2AD，
∴EF＝2AD。
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二倍中线构造平行四边形
