Question

在△ABC中,a/b/c分别为内角A/B/C的对边,2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,求∠A，求sinB+sinc的最大值？

Answer 1

假设外接圆半径r
sinA=a/(2r),sinB=b/(2r),sinC=c/(2r)
2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC
转换：b^2+c^2+bc-a^2=0
(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=-1/2=cosA
得A=120，

B+C=60
sinB+sinC
=2sin[(C+B)/2]*cos[(C-B)/2]
=cos[(C-B)/2]
<=1
当B-C=0，B=C=60/2=30等号成立
sinB+sinC的最大值
1

Answer 2

根据正弦定理，可把2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC，化为2a^2=(2b+c)b+(2c+b)c所以b^2+c^2-a^2=-bc所以cosA=-1/2，所以A=120度，又B=60度-C,所以sinB+sinc=sinB+sin（60-B)=2sin60cos(2B-60),所以当B=30度时，sinB+sinc取得最大值，为
√
3，综上，A=120度，sinB+sinc的最大值为√
3

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