Question

这道题三角函数题怎么做？

Answer 1

（Ⅰ）在△ABO中，根据余弦定理，可求AB；（Ⅱ）依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC，则OC⊥MN，利用面积求出xy，由余弦定理得，c2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy≥3xy，即可得出结论．解：（Ⅰ）在△ABO中，OA=6，OB=10，∠AOB=120°，…（1分）根据余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2?OA?OB?cos120°…（3分） =62+102?2×6×10×(?1/2)＝196，所以AB=14．故A，B两集镇间的距离为14km．…（5分）（Ⅱ）依题意得，直线MN必与圆O相切．设切点为C，连接OC，则OC⊥MN．…（6分）设OM=x，ON=y，MN=c，在△OMN中，由(1/2)MN?OC＝(1/2)OM?ON?sin120°，得 (1/2)×3c＝(1/2)xysin120°，即xy＝2√3c，…（8分）由余弦定理得，c2=x2+y2-2xycos120°=x2+y2+xy≥3xy，…（10分）所以c2≥6√3c，解得c≥6√3，…（11分）当且仅当x=y=6时，c取得最小值6√3．（这里利用基本不等式：a+b>=2√ab，当且仅当a=b时等号成立）所以码头M，N与集镇O的距离均为6km时，M，N之间的直线航线最短，最短距离为6√3km．…（12分）点评：本小题主要考查解三角形、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想