Question

这道二重积分怎么算？

Answer 1

这个题目注意到两个积分区域拼在一起刚好是一个八分之一圆，转化为极坐标形式，令x=rcos，y=rsin,注意极坐标上下限的确定，然后就是转化为二重积分有一个r不能丢了

Answer 2

用极坐标：
=∫（0，R/√2）∫（0，y）e^[-x²-y²]dxdy+∫（R/√2，R）∫（0，√（R²-y²））e^[-x²-y²]dxdy
积分区间：
前面：y=0~R/√2，x=0~y，y=x，y轴，y=R/√2围成的△；
后面：y=R/√2~R，x=0~√（R²-y²），y轴，y=x，圆x²+y²=R²，y=R/√2围成的第一象限的半个弓形。
两者合起来，是圆x²+y²=R²，半径位于π/4~π/2间的扇形。
θ=π/4~π/2，r=0~R
积分=
∫（π/4，π/2）dθ∫（0，R）e^[-r²]rdr
=(π/4).(1/2)∫（0，R）e^[-r²]dr²
=-（π/8）e^[-r²]（0，R）
=-（π/8）[e^[-R²]-1]
=（π/8）[1-1/e^R²]