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这是著名的自然数立方和公式
1³+2³+...+n³=(1+2+...+n)²=[n(n+1)/2]²
当n=1时左边=右边=1,等式成立
假设n=k时等式成立,则当n=k+1时
右边=[(k+1)(k+2)/2]²
=[k(k+1)/2+k+1]²
=[k(k+1)/2]²+k(k+1)²+(k+1)²
=1³+2³+...+k³+(k+1)³
=左边
∴当n=k+1时,等式成立
1³+2³+...+n³=(1+2+...+n)²=[n(n+1)/2]²
当n=1时左边=右边=1,等式成立
假设n=k时等式成立,则当n=k+1时
右边=[(k+1)(k+2)/2]²
=[k(k+1)/2+k+1]²
=[k(k+1)/2]²+k(k+1)²+(k+1)²
=1³+2³+...+k³+(k+1)³
=左边
∴当n=k+1时,等式成立
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