Question

设a,b,c均为非零向量，且a=b×c,b=c×a,c=a×b,|a|+|b|+|c|=_______________?

Answer 1

a=(a1,a2,a3);b=(b1,b2,b3);c=(c1,c2,c3)
a×b=|
i
j
k|
|a1
a2
a3|
|b1
b2
b3|=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)
所以：(a×b)·c=(a2b3-b2a3,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1)·(c1,c2,c3)
=a2b3c1-b2a3c1+a3b1c2-a1b3c2+a1b2c3-a2b1c3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理，(b×c)·a=b2c3a1-c2b3a1+b3c1a2-b1c3a2+b1c2a3-a2c1a3整理得
=b2c3a1+b3c1a2+b1c2a3-c2b3a1-b1c3a2-a2c1a3
=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-b2a3c1
同理可求得(c*a)*b
比较得:(a×b)·c=(c×a)·b=(b×c)·a,

Answer 2

a=b×c,b=c×a,c=a×b
=》
a⊥b⊥c,且它们的正向构成右手法则，因此它们必在直角坐标系的三条正轴上
设a=λ
i
,b=μj
c=ωk
(λ,μ,ω>0)
则
λ=μω
μ=ωλ
ω=λμ
故λ=μ=ω=1
,|a|+|b|+|c|=1+1+1=3