Question

球面坐标三重积分的φ如何求得?θφr中的φ如何求比如旋转抛物面和球面的图,如何判定φ的大小?

Answer 1

要知道φ的上下限怎么确定，首先需要明白φ代表的是什么意思，请看我给你的图片，知道了φ表示什么，我们就应该想怎么确定它的上下限，从图中来看，φ的范围很明显是0到α，请注意图中标示φ的箭头，是从z轴开始的
需要注意的是，你提到如何求旋转抛物面和球面围成的积分区域的φ，这种情况是不能用球面坐标进行计算的，应该用柱面坐标，你想抛物面怎么去确定角度呢，只有旋转锥面和球面围成的区域采用球面坐标计算，就像我给你的图片里一样
此外，还有一个比较简单粗暴的方法可以确定φ的上下限，就是根据等式z=cosφ，我们先确定积分区域的顶端z值的大小，根据该等式得出φ的大小

Answer 2

方法，
按照球面坐标对角度g的约定，
对积分区域中的点M进行判定，
再结合边界曲面的方程验算若干。
约定是，
【对于空间点M，有向量OM，
OM与z轴正向的夹角就是g】。
例如，
中心在原点的右半球面与xoz面围成的区域G，
角度g从位于z轴正向上的点M开始考虑，这时g=0，
位于z轴负向上的点M的g=π，
而区域G中其他的点M的g都在此范围中。