Question

在平面里证明四点共圆有什么常用方法？

Answer 1

可以
用反证法四点共圆的判定定理：
　　方法1
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
　　（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
　　方法2
把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
　　（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角。那么这四点共圆）
反证法证明
　　现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）
　　已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
　　求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
　　证明：用反证法
　　过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
　　若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180°
，
　　∵∠A+∠C=180°
∴∠DC’B=∠C
　　这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
　　∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。