Question

如图，在△ABC中 ，∠ACB=90°，AC=2,BC=3,D是BC边上一点，直线DE⊥BC于点D，交

如图，在△ABC中 ，∠ACB=90°，AC=2,BC=3,D是BC边上一点，直线DE⊥BC于点D，交AB于E,CF//AB交直线DE于F。设CD=X.
（1）当X取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由。
（2）当X取何值时，四边形EACD的面积等于2？

Answer 1

(1)X=6*根号13/13;
逆推:四边形EACF是菱形 -> AE=AC=2
直角三角形BDE和BCA相似,则BD/BC=BE/BA -> BD=(BE/BA)*BC,
勾股定理,BA=根号13;BE=BA-AE=根号13-2;BD=BC-CD=3-X;
-> 3-X=(根号13-2)*3/根号13,
解方程,得X=6*根号13/13.

(2)X=3-根号3;
四边形EACD是梯形,
四边形EACD的面积=(1/2)*(DE+AC)*CD
直角三角形BDE和BCA相似,则BD/BC=DE/AC -> DE=(BD/BC)*AC,
DE=(3-X)*2/3,AC=2,CD=X;
(1/2)*[(3-X)*2/3 + 2]*X = 2,
解方程,
得X1=3+根号3(CD>BC,不合题意,舍去),
X2=3-根号3.

Answer 2

（1）因为AC//EF ,CF//AE,所以四边形EACF是平行四边形。
又因为当AC=CF时，四边形EACF就是菱形，则，AC=CF=2
又因为直角三角形CDF与直角三角形BCA相似，所以：X/2=3/根号（2的平方+3的平方），X=6*根号13.
（2）因为四边形EACD是平行四边形，CD垂直于AC，所以S=底*高=AC*X=2,则X=1

Answer 3