Question

求证定积分不等式:1<∫ π/2 0 (sinx/x)dx < π/2

Answer 1

先证明：当0<x<π/2时,
2/π<
sinx
/x
<
1;
则
1<∫[0,π/2]（sinx/x）dx
<
π/2
(1)不等式sinx
/x
<
1即
sinx<x显然成立
(2)不等式sinx
/x
>
2/π,用导数证明，令f(x)=sinx
-2x/π,求导f'(x)=cosx-2/π
得驻点x0=arccos(2/π)，讨论单调性，当0<x<x0,f'(x)>0,当x0<x<π/2,
f'(x)<0,
又fmax=f(x0),f(0)=f(π/2)=0，从而f(x)>0.