Question

18-24 换元积分法求不定积分 求大神详细步骤

Answer 1

（18）解：原式=∫√(lnx)d(lnx)
=∫√tdt
(令t=lnx)
=(2/3)t^(3/2)+C
(C是积分常数)
=(2/3)(lnx)^(3/2)+C；
（19）解：原式=∫[1/√(tanx)]d(tanx)
=∫(1/√t)dt
(令t=tanx)
=2√t+C
(C是积分常数)
=2√(tanx)+C；
（20）解：原式=∫[1/(arcsinx)^2]d(arcsinx)
=∫(1/t^2)dt
(令t=arcsinx)
=C-1/t
(C是积分常数)
=C-1/arcsinx；
（21）解：原式=∫[(cos(2x)-cos(8x))/2]dx
(应用积化和差公式)
=(1/4)∫cos(2x)d(2x)-(1/16)∫cos(8x)d(8x)
=(1/4)∫costdt-(1/16)∫coszdz
(两个积分分别令t=2x，z=8x)
=sint/4-sinz/16+C
(C是积分常数)
=sin(2x)/4-sin(8x)/16+C；
（22）解：原式=∫(cosx)^2*cosxdx
=∫[1-(sinx)^2]d(sinx)
=∫(1-t^2)dt
(令t=sinx)
=t-t^3/3+C
(C是积分常数)
=sinx-(sinx)^3/3+C；
（23）解：原式=∫(secx)^2*(secx)^2dx
=∫[1+(tanx)^2]d(tanx)
=∫(1+t^2)dt
(令t=tanx)
=t+t^3/3+C
(C是积分常数)
=tanx+(tanx)^3/3+C；
（24）解：原式=∫((tanx)^2)^2dx
=∫((secx)^2-1)^2dx
=∫[1+(secx)^4-2(secx)^2]dx
=∫dx+∫(secx)^4dx-2∫(secx)^2dx
=x+tanx+(tanx)^3/3-2∫d(tanx)
(第二个积分应用（23）题结果)
=x+tanx+(tanx)^3/3-2∫dt
(在积分中令t=tanx)
=x+tanx+(tanx)^3/3-2t+C
(C是积分常数)
=x+tanx+(tanx)^3/3-2tanx+C
=x-tanx+(tanx)^3/3+C。