Question

怎么证明可逆映射是一一映射

Answer 1

如果F是A到B的映射 则 任何X属于A 在B中有唯一的象 Y=F[X]
若F可逆 则F逆 为B到A的 映射 则 任何X属于B 在A中有唯一的象 Y=F逆[X] 所以 F是满射 否则存在Y属于B 任何X属于A F[X]不=Y 则 不存在 X=F逆[Y]
矛盾 F是单射 因为 若 X1 X2 属于A 且F[X1]=F[X2]=Y属于B 则 X1=F逆[Y]
X1=F逆[Y] 则 X1=X2
所以是一一映射

Answer 2

设有两个集合a和b，f是从a到b的映射。
则有b中的任何元素y都可在b中找到其原象x。
必要性：若映射f存在逆映射，则有f^(-1)使得
a中的任何元素x都可在b中找到其象元素y。
即知f是双射。
充分性：若f是双射，则有存在映射g使得
a中的任何元素x都可在b中找到其象元素y。
现在只需证明存在符合条件的g是f的逆映射即可证明充分性。
g（y）=x，又f（x）=y。可得
f[g(y)]=f（x）=y
g[f（x）]=g（y）=x
因此g=f^(-1)。即证充分性。

Answer 3

"单射存在逆映射"是不对的.假设非空集合m中的元素单射到非空集合n,因为n里面可以有没被映射的元素,所以n到m的映射是不存在的.单射是集合n里的元素最多只能被映射一次(可以有没被映射过的).至于满射,很容易理解它没有逆映射.
事实上一个映射可逆的充要条件是它是一个双射.<<高等代数>>第6章线性空间,具体哪页我忘了.你自己可以找找.