Question

线性代数含参线性方程组的求解问题，如图

第一步和第二步是怎么求出的，这问题以困扰我很久了也想不明白，恳请高手详细指点，不胜感激！
方程组解与R的关系我明白，我不明白的地方是第一问第二问中怎么得出参数x(用x代替比较好输入）的值。例如第一问中通过什么关系求出x的值。我的想法A的秩和B的秩都要等于3，那就可以推出是B中最后一行的第三项为0，最后一项不为0，即-x(3+x)=0,(1+x)(3+x)不等于0。这样求出的参数的值与答案就有点不同了。我第一第二问中就是遇到这样的问题想不明白，恳请各位高手指点迷津，我的想法中哪些地方不对，感激不尽！

Answer 1

【分析】
非齐次线性方程组Ax=b
若R(A)=R(B)＜n，则方程组有无限多解。
若R(A)=R(B)=n，则方程组有唯一解。
若R(A)+1=R(B)，则方程组无解。

【解答】

1、对增广矩阵（A，b）做初等变换化为阶梯型。
2、当λ=0时，R(A)=1，R(B)=2，无解
当λ=-3时，R(A)=2，R(B)=2，无穷多解
当λ≠0，λ≠-3时，R(A)=R(B)=3，唯一解。

【评注】
含参非齐次线性方程组Ax=b，解的判定：
1、对增广矩阵（A，b）做初等变换化为阶梯型。
2、根据秩与解的关系来判定。

newmanhero 2015年7月17日11:06:30

希望对你有所帮助，望采纳。

1 1 1+λ λ
0 λ -λ 3-λ
0 0 -λ(3+λ) (1-λ)(3+λ)

当化简到如上的阶梯型时，就要考虑λ取什么值时，对应的元素等于0
显然当λ=0，或λ=-3时，矩阵A的元素会出现0
讨论这一问题，就是看系数矩阵A的元素什么时候为0，因为A的某行元素是否为0，决定了R(A)的不同。

追问

不用在整体上考虑B的秩是吗？

追答

根据参数，考虑A的秩，此时再看B对应的秩是否满足R(B)=R(A)

Answer 2

这个属于非齐次线性方程的解得分布情况，需要你自己仔细验算一下，再把知识点复习巩固，这样你才会记住，别人就是给你答案你下次还是不会！

追问

呵呵，谢谢你的提醒，不过你没看到我是已经得了答案，我是不明白其中遇到问题自己解决不了才来求教的，而不是来向别人要答案的吗？我的目标是搞清楚解这道题的方法思路，及我自己的思路哪里出了错，以后遇到同样的问题我也就会解了，不是来找你给我答案应付了事的号码？你不愿帮我就算了，何必在这里说这些话来伤人心？

Answer 3

你是对R(A)的求解过程，还是对R与解的关系不知道？

追问

方程组解与R的关系我明白，我不明白的地方是第一问第二问中怎么得出参数x(用x代替比较好输入）的值。例如第一问中通过什么关系求出x的值。我的想法A的秩和B的秩都要等于3，那就可以推出是B中最后一行的第三项为0，最后一项不为0，即-x(3+x)=0,(1+x)(3+x)不等于0。这样求出的参数的值与答案就有点不同了。我第一第二问中就是遇到这样的问题想不明白，恳请您指点指点，谢谢！

追答

你这个想法有误。
秩的定义是“矩阵中出现的最高阶非零行列式的阶数”。
所以R(B)=3应该等价于：1、x两项非0，且-x(3+x)、(1+x)(3+x) 两项中，至少1项不为0。

感受一下这个表述与你的想法不同在哪，你就能明白这种题目的解法了。

追问

看来是我对矩阵秩的概念理解不透彻，我理解成矩阵的秩等于其行阶梯型的非零行的行数，因此，第一问中要使R（A）=R（B）=3，只要第二行中 X两项非零，第三行中必须-x(3+x)项非零，(1+x)(3+x)项取零或非零都可以不用管，否则R（A）秩就不等于3，不能符合方程组有唯一解的条件。这样就求出第一问中的X的参数值X≠0且X≠-3。这样理解对吗？

追答

这样也不对。应该是：【第三行中两项不全为0】
也就是说：
-x(3+x)非零，(1-x)(3+x)不用管，解得 x≠0且x≠-3

或者：-x(3+x)不用管，(1-x)(3+x)非零，解得 x≠1且x≠-3
两者满足其一即可，故x≠-3即可。
再满足第二行的x≠0条件，得：x≠0且x≠-3

这道题中-x(3+x)这一项解出的x≠0，与第二行中的条件重复，所以在最终答案上可能没体现出来。但并不代表你这个理解就完善了，对于普遍情况，需要按我上面的步骤考虑。

追问

-x(3+x)非零解得 x≠0且x≠-3或者：(1-x)(3+x)非零，解得 x≠1且x≠-3两者满足其一即可，故x≠-3即可。 这里是取交集的意思是吗？总结一下：对于含参的线性方程组求解，是不是先求出方程组有唯一解的参数值（如本题的x≠0且x≠-3），然后再用求出的参数值（0和-3）分别代入增广矩阵中就可求其是无解或是无穷解。我这样的总结对吗？

追答

是。