Question

数列前N项和与数列通项公式的关系

Answer 1

这个通项公式应该是sn=lnn+γ
其中γ为欧拉常数，具体推导过程：
学过高等数学的人都知道，调和级数s=1+1/2+1/3+……是发散的，证明如下：
由于ln(1+1/n)<1/n
（n=1，2，3，…）
于是调和级数的前n项部分和满足
sn=1+1/2+1/3+…+1/n>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)
=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+…+ln[(n+1)/n]
=ln[2*3/2*4/3*…*(n+1)/n]=ln(n+1)
由于
lim
sn（n→∞）≥lim
ln(n+1)（n→∞）=+∞
所以sn的极限不存在，调和级数发散。
但极限s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）却存在，因为
sn=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)>ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+…+ln(1+1/n)-ln(n)
=ln(n+1)-ln(n)=ln(1+1/n)
由于
lim
sn（n→∞）≥lim
ln(1+1/n)（n→∞）=0
因此sn有下界
而
sn-s(n+1)=1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)-[1+1/2+1/3+…+1/(n+1)-ln(n+1)]
=ln(n+1)-ln(n)-1/(n+1)=ln(1+1/n)-1/(n+1)>ln(1+1/n)-1/n>0
所以sn单调递减。由单调有界数列极限定理，可知sn必有极限，因此
s=lim[1+1/2+1/3+…+1/n-ln(n)]（n→∞）存在。
于是设这个数为γ，这个数就叫作欧拉常数，他的近似值约为0.57721566490153286060651209，目前还不知道它是有理数还是无理数。
于是我们得到sn的公式是：sn=lnn+γ
在微积分学中，欧拉常数γ有许多应用，如求某些数列的极限，某些收敛数项级数的和等。