Question

三重积分怎么计算体积？

Answer 1

当被积函数ƒ(x，y，z)
=
1时三重积分几何意义为立体ω的体积。
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球面坐标：
所求体积
=
∫∫∫_ω
dv
=
∫(0→2π)
dθ
∫(0→π/4)
sinφdφ
∫(0→2cosφ)
r²dr
=
2π∫(0→π/4)
sinφdφ
*
[
r³/3
]
|(0→2cosφ)
=
(2/3)π∫(0→π/4)
8cos³φ
d(-
cosφ)
=
(-
16/3)π
*
(1/4)[
cos⁴φ
]
|(0→π/4)
=
(-
4/3)π
*
(1/4
-
1)
=
π
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柱面坐标：dz：z²
=
x²
+
y²
=>
dzの面积
=
πz²
所求体积
=
∫∫∫_ω
dv
=
∫∫∫_ω₁
dv
+
∫∫∫_ω₂
dv
=
∫(0→1)
[∫∫_dz
dxdy]
dz
+
∫∫dxy
[∫(1→1
+
√(1
-
x²
-
y²))
dz]
dxdy
=
∫(0→1)
πz²
dz
+
∫(0→2π)
dθ
∫(0→1)
rdr
∫(1→1
+
√(1
-
r²)
dz
=
π/3
+
2π
*
∫(0→1)
r√(1
-
r²)
dr
=
π/3
+
2π
*
(1/3)
=
π
其中:ω₁是由锥面z
=
√(x²
+
y²)和z
=
1围成
ω₂是由半球体z
=
1
+
√(1
-
x²
-
y²)和z
=
1围成