Question

利用函数凹凸性，证明不等式(e∧x+e∧y/)2>e∧x(x+y)/2

Answer 1

你的问题真让人晕,希望下面的解答对你有帮助凹函数的性质：
若f(x)是凹函数,
则[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2]
因为f(x)=x^n
(n>1)是凹函数
故[f(x)+f(y)]/2>f[(x+y)/2]
即
(x^n+y^n)/2
>
(
(x+y)/2
)
^n

Answer 2

回答：
这是柯西－许瓦兹不等式(cauchy-schwarz
inequality)。
证：对于任意实变量t，考虑函数
q(t)
=
e[(x+ty)^2]
=
e(y^2)t^2
+
2e(xy)t
+
e(x^2).
显然，对于一切实数t，q(t)≥0。这就意味着q(t)的判别式小于等于0，即
4[e(xy)]^2
-
4[e(x)^2
e(y)^2]
≤
0.
也就是
[e(xy)]^2
≤
e(x)^2
e(y)^2.