Question

求微分方程y''-3y'=sin2x的通解

Answer 1

设p=dy/dx=y'
则y"=[(d^2)y]/[d(x^2)]=dp/dx
代入：
dp/dx-3p=sin2x
dp/dx-sin2x=3p
然后就不会了……………………
找到了……
“高等数学，微分方程的解法，一阶线性微分方程”中有类似的题（我看不懂……）
按照书上的答案，
dy/dx=p={-3sin2x-2cos2x}/13+Ce^(3x)（貌似不正确……）
dy=-(3/13)sin2xdx-(2/13)cos2xdx+Ce^(3x)dx
y=(3/26)cos2x-(1/13)sin2x+C1[e^(3x)]+C2
我都没信心了……

Answer 2

一阶线性常系数非齐次常微分方程.
先求齐次方程通解:
特征方程t^2-3t=0,特征根t=0,t=3,齐次方程通解y=C1+C2e^(3x).
再求非齐次方程特解:
设非齐次方程有特解y=Asin2x+Bcos2x,则y'=2Acos2x-2Bsinx,y''=-4Asin2x-4Bcos2x,
y''-3y'=(-4A+6B)sin2x+(-4B-6A)cos2x≡sin2x,
-4A+6B=1,-4B-6A=0,解得A=-1/13,B=3/26.
原方程的通解为:
y=C1+C2e^(3x)-(1/13)sin2x+(3/26)cos2x.

Answer 3

y''-3y'=sin2x
这是一道非齐次微分方程
先求y''-3y'=0的通解
显然,特征方程y^2-3y=0的特征解为:y1=3,y2=0
所以,y''-3y'=0的通解为:y=C1*e^(3x)+C2
用待定系数法求特解
设y=x(a*sin2x+b*cos2x),a,b为待定系数
把y代入原方程有:
y'=(a*sin2x+b*cos2x)+x(2a*cos2x-2bsin2x)
y''=2a*cos2x-2bsin2x+(2a*cos2x-2bsin2x)+x(-4asin2x-4bcos2x)
=4(a*cos2x-bsin2x)-4x(asin2x+bcos2x)
y''-3y'=4(a*cos2x-bsin2x)-4x(asin2x+bcos2x)-3*[(a*sin2x+b*cos2x)+x(2a*cos2x-2bsin2x)
=sin2x
解出,a,b
(根据sin2x,cos2x前面相同的系数求)
最后,y=C1*e^(3x)+C2+x(a*sin2x+b*cos2x)