Question

已知数列{an}的前n项和Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=1/2

（1）求证：{1/Sn}是等差数列
（2）求an 的表达式
（3）若bn=2(1-n)*an (n大于等于2)，求证：b2^2+b3^2+...+bn^2小于1

题中的（n2）意思是n大于等于2

Answer 1

1.
n>=2时
An=Sn-S(n-1)
Sn-S(n-1)+2SnS(n-1)=0
两边除以SnS(n-1)
1/S(n-1)-1/Sn+2=0
1/Sn-1/S(n-1)=2
{1/Sn}是公差为2的等差数列

2.
1/S1=1/A1=2
1/Sn=2n
Sn=1/(2n)
An=Sn-S(n-1)=1/(2n)-1/(2n-2)=-1/(2n(n-1))
A1=1/2

3.
Bn=2(1-n)An=1/n
(Bn)^2=1/n^2<1/(n(n-1))=(n-(n-1))/(n(n-1))=1/(n-1)-1/n
(B2)^2+(B3)^2+……+(Bn)^2
=1/2^2+1/3^2+……+1/n^2
<(1/1-1/2)+(1/2-1/3)+……+1/(n-1)-1/n
=1-1/n<1