Question

以下两个求和怎么求

Answer 1

解：求出其中一个，另一个利用sin²(kθ)+cos²(kθ)=1转换即可。∴不妨求出Sn=∑sin²(kθ)(k=1,2,3,……，n)。Sn=∑sin²(kθ)=∑[1-cos(2kθ)]/2=n/2-(1/2)∑cos(2kθ)。利用欧拉公式有cos(2kθ)=[e^(i2kθ)+e^(-i2kθ)]/2，∴Sn=n/2-(1/4)∑[e^(i2kθ)+e^(-i2kθ)]，按等比级数求和有：Sn=n/2-(1/4){[e^(i2θ)-e^(i2(n+1)θ)/]/[1-e^(i2θ)]+[e^(-i2θ)-e^(-i2(n+1)θ)/]/[1-e^(-i2θ)]}e^(i2kθ)+e^(-i2kθ)]，经整理、再利用欧拉公式回代，Sn=n/2-{[sin(2n+1)θ]/sinθ-1}/4=(2n+1)/4-sin(2n+1)θ]/(4sinθ)。同理，∑cos²(kθ)=∑[1-sin²(kθ)]=n-Sn=(2n-1)/4+sin(2n+1)θ]/(4sinθ)。供参考啊。