Question

n个自然数之和等于它们的乘积,求n及这n个数

Answer 1

假设有1*2*3*4......*n=1+2+3+....+n=n(n+1)/2
（1)
即1*2*3*.....*(n-1)=(n+1)/2
当n>3时，(n-1)-(n+1)/2=(2n-2-n-1)/2
=(n-3)/2>0
即(n-1)/(n+1)/2>1
用(1)的左边除以右边得到
1*2*3*.....*(n-1)/((n+1)/2)>1*2*...*(n-2)>1
左边大于右边
所以等式不成立
所以大于3的时候不存在这样的n是得n个自然数之和等于它们的乘积,

Answer 2

2007
=
223
*
3
*
3
*
1
*
1
*
.....
*
1
显然，如果不包含因子
1
的话，是不可能满足条件的。
而且拥有尽可能多的因子
1
,
才能使
n
尽可能大。
这就要求：除
1
以外的因子的和尽可能小，然后用尽可能多的
1
来补充，因为
1
只影响和，不影响积。
除1以外的因子可能是：
223哗禒糕溉蕹防革狮宫饯
*
3
*
3
=
223
*
9
=
669
*
3
...
显然，取
223
,
3,
3
这3个因子时，它们的和最小。可以补充最多的
1。
2007
=
223
*
3
*
3
*
1^1778
=
223
+
3
+
3
+
1
*
1778
则总共有
3
+
1778
=
1781
个数。
n的最大值是
1781
。