Question

2001的2003次方除以13的余数是多少?

Answer 1

余数为12。
因为2002能够被13整除，（2002＝13*154）
再根据二项式定理展开，可得
2001^2003=(2002-1)^2003
=2002^2003+C(2003)(1)2002^2002*(-1)^1
+…+C(2003)(1)2002^1*(-1)^2002+(-1)^2003
展开式中只有最后一项中不含有2002的整数次幂，
所以，将右边最后一项移到左边，得到
2001^2003-(-1)^2003=2001^2003+1能够被13整除。
所以2001^2003除以13的余数为12。
注：2001^2003的意思是2001的2003次方；锭笭赤蝗俦豪稠通椽坤
C(2003)(1)是指二项式定理中的系数。

Answer 2

这个题目需有二项式展开的预备知识。不知道楼主清楚否？
例如
(a+b)^2
=
a^2
+
2ab
+
b^2
(a+b)^3
=
a^3
+
3a^2b
+
3ab^2
+
b^3
(a+b)^4
=
a^4
+
4a3^b
+
6a^2b^2+4ab^3+b^4
……
(a+b)^n
=
a^n
+
系数*a^(n-1)*b
+
系数*a^(n-2)*b^2
+
……
+
系数*a*b^(n-1)
+
b^n
2001
=
（154
×
13）
-
1
=
X
-
1
其中
X
代表154
×
13。
X的任何次方都可以被13整除，对余数没有贡献
对
(X-1)^2003
进行二项式展开：
(X-1)^2003
=
一个多项式
-
1
多项式中的每一项都含有X，即多项式中每一项都能被13整除。
所以余数为
-1。即相当于
余数为
12。
============
其中的多项式为
X^2003
+
整数系数*X^2002
+
整数系数*X^2001
+
……
整数系数*X
---------------
符号
^
表示乘方运算。