Question

一道数学中考题，狠急

Answer 1

y=x²-(2m-1)x+m²+3m+4
（1）△=[-(2m-1)]²-4（m²+3m+4）=4m²-4m+1-4m²-12m-16=-16m-15
当△＞0时，函数y的图像与x轴有两个交点
此时：-16m-15＞0
∴m＜-15/16
当△=0时，函数y的图像与x轴只有一个交点
此时：-16m-15=0
∴m=-15/16
当△＜0时，函数y的图像与x轴没有交点
此时：-16m-15＜0
∴m＞-15/16
（2）二次函数y的图象与x轴的交点为A(x1，0)，B(x2，0)，
即x1、x2是方程x²-(2m-1)x+m²+3m+4=0的两个实根
根据韦达定理：x1+x2=2m-1，x1x2=m²+3m+4
∴x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(2m-1)²-2(m²+3m+4)=2m²-10m-7=5
∴2m²-10m-12=0
即m²-5m-6=0
即(m-6)(m+1)=0
∴m=6或m=-1
由（1）可知，为使方程有解，则m≤-15/16
∴m=6不合题意，舍
∴m=-1

Answer 2

解：(1)令y=0，得x^2-(2m-1)x+m^2+3m+4=0
△=(2m-1)^2-4(m^2+3m+4)=-16m-15
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，即-16m-15＞0
∴m＜-15/16
时，y的图象与X轴有两个交点
当△=0时，方程有两个相等的实数根，即-16m-15=0
∴m=-15/16
时，y的图象与X轴只有一个交点
当△＜0时，方程没有实数根，即-16m-15＜0
∴m＞-15/16时，y的图象与X轴没有交点
(2)由根与系数的关系得x1+x2=2m-1，x1x2=m^2+3m+4
x1^2
+
x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(2m-1)^2-2(m2+3m+4)=2m^2-10m-7
∵x1^2
+
x2^2
=5
∴2m^2-10m-7=5
∴m^2-5m-6=0
解得m1=6，m2=-1
∵m＜-15/16
∴只能m=-1
∴y=x^2+3x+2
令X=0，得y=2
∴二次函数y的图象与y轴的交点C坐标为(0，2)
又y=x^2+3x+2=(x+3/2)^2-1/4
∴顶点M的坐标为(-3/2，-1/4)
设过C(0，2)与M(-3/2，-1/4)的直线解析式为y=kx+b
代入两点后得b=2，k=3/2
∴所求的解析式为y=3/2x+2