Question

∑1/(2n-1)^2级数求和，求确切的值

求的过程中∑1/n^2为什么等于（∑1/（2n-1）^2）＋（∑1/（2n）^2）？

Answer 1

当n=1,2，3，…，时，∑1/n²=∑1/(2n-1)²+∑1/(2n)²是恒等变形【亦可用递推方式验证】。
又，∵当n=1,2，3，…，∞时，∑1/n²=π²/6。
∴∑1/n²=∑1/(2n-1)²+∑1/(2n)²=∑1/(2n-1)²+(1/4)∑1/n²。故，π²/6=∑1/(2n-1)²+(1/4)π²/6。
∴∑1/(2n-1)²=(1-1/4)π²/6=π²/8。
供参考。