xy'－y－√(y²－x²)=0的齐次方程的通解？
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求微分方程xy'－y－√(y²－x²)=0的通解？
解：方程两边同除以x，得： y'-(y/x)-√[(y/x)²-1]=0...........①
令y/x=u，则y=ux；故y'=dy/dx=u+u'x；代入①式得：
u+u'x-u-√(u²-1)=0，化简得：u'x-√(u²-1)=0
分离变量得：du/√(u²-1)=dx/x；
积分之得：ln[u+√(u²-1)]=lnx+lnc=ln(cx);
故得 u+√(u²-1)=cx；将 u=y/x代入即得：(y/x)+√[(y/x)²-1]=cx;
也就是：y=cx²-√(y²-x²)为其通解。
解：方程两边同除以x，得： y'-(y/x)-√[(y/x)²-1]=0...........①
令y/x=u，则y=ux；故y'=dy/dx=u+u'x；代入①式得：
u+u'x-u-√(u²-1)=0，化简得：u'x-√(u²-1)=0
分离变量得：du/√(u²-1)=dx/x；
积分之得：ln[u+√(u²-1)]=lnx+lnc=ln(cx);
故得 u+√(u²-1)=cx；将 u=y/x代入即得：(y/x)+√[(y/x)²-1]=cx;
也就是：y=cx²-√(y²-x²)为其通解。
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