Question

用数学归纳法证明：1*n+2(n-1)+3(n-2)+…+(n-1)*2+n*1=(1/6)n(n+1)(n+2)

Answer 1

n=1时，左边=1*1=1
右边=1/6*1*2*3=1
左边=右边，等式成立！
假设n=k时成立
(k>1)即:
1*k+2(k-1)+3(k-2)+…+(k-1)*2+k*1=(1/6)k(k+1)(k+2)
当n=k+1时；
左边
=1*(k+1)+2(k+1-1)+3(k+1-2)+…+(k+1-1)*2+(k+1)*1
=1*k+1*1+2(k-1)+2*1+…+k*1+k+(k+1)
=[1*k+2(k-1)+…+(k-1)*2+k*1]+1+2+3+…+k+(k+1)
=(1/6)k(k+1)(k+2)+1+2+3+…+k+(k+1)
=(1/6)k(k+1)(k+2)+1/2*(k+1)*(k+2)
=(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)
=(1/6)(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]
=右边
原式也成立！
综上可知，原式为真！

Answer 2

（1）当n=1时
左式=1×1=1
右式=1/6×1×（1+1）×（1+2）=1
等式成立
（2）假设当n=k(k∈n)时成立即1·k+2·(k-1)+……+k·1=(1/6)k(k+1)(k+2)①
当n=k+1时
左式=1·(k+1)+2k+……+k·2+(k+1)·1②
②与①左式进行比较
1·(k+1)+2k+……
+(k-1)·3+
k·2+(k+1)·1
1·k
+
2(k-1)+……+(k-1)·2+
k·1
1
2
……
k-1
k
k+1
(差值)
比较后知②比①的左式多[1+2+……+k+(k+1)]=(1/2)(k+1)(k+2)
所以当n=k+1时左式
=(1/6)k(k+1)(k+2)+(1/2)(k+1)(k+2)==(1/6)(k+1)(k+2)(k+3)也就是当n=k+1时命题成立
由数学归纳法知原命题成立