Question

求（-x^2-2）/（x^2+x+1）^2dx的不定积分，用分部积分法

Answer 1

是不是想求：∫｛（2x^2＋x＋1）/［（x＋3）（x－1）^2］｝dx
？
　若是这样，则方法如下：
原式＝∫｛［（2x^2－4x＋2）＋（5x－1）］/［（x＋3）（x－1）^2］｝dx
　　＝2∫［1/（x＋3）］dx＋∫｛［（5x－5）＋4］/［（x＋3）（x－1）^2］｝dx
　　＝2∫［1/（x＋3）］d（x＋3）＋5∫［1/（x＋3）（x－1）］dx
　　　＋4∫［1/（x＋3）（x－1）^2］dx
　　2∫［1/（x＋3）］d（x＋3）＋5∫［1/（x＋3）（x－1）］dx
　　　＋4∫［1/（x＋3）（x－1）^2］d（x－1）
　　＝2ln｜x＋3｜＋（5/4）∫｛［（x＋3）－（x－1）］/（x＋3）（x－1）］｝dx
　　　－4∫［1/（x＋3）］d［1/（x－1）］
　　＝2ln｜x＋3｜＋（5/4）∫［1/（x－1）］dx－（5/4）∫［1/（x＋3）］dx
　　　－4∫［1/（x＋3）］d［1/（x－1）］
　　＝2ln｜x＋3｜＋（5/4）∫［1/（x－1）］d（x－1）－（5/4）∫［1/（x＋3）］d（x＋3）
　　　－4∫［1/（x＋3）］d［1/（x－1）］
　　＝2ln｜x＋3｜＋（5/4）ln｜x－1｜－（5/4）ln｜x＋3｜－4∫［1/（x＋3）］d［1/（x－1）］
　　＝（3/4）ln｜x＋3｜＋（5/4）ln｜x－1｜－4∫［1/（x＋3）］d［1/（x－1）］。
下面求∫［1/（x＋3）］d［1/（x－1）］的值
令1/（x－1）＝u，则：x－1＝1/u，∴x＝1＋1/u＝（u＋1）/u，∴x＋3＝（4u＋1）/u。
∴∫［1/（x＋3）］d［1/（x－1）］
＝∫［u/（4u＋1）］du
＝（1/4）∫［（4u＋1－1）/（4u＋1）］du
＝（1/4）∫du－（1/4）∫［1/（4u＋1）］du
＝u/4－（1/16）∫［1/（4u＋1）］d（4u＋1）
＝1/［4（x－1）］－（1/16）ln｜4u＋1｜＋c
＝1/［4（x－1）］－（1/16）ln｜4/（x－1）＋1｜＋c
＝1/［4（x－1）］－（1/16）ln｜（x＋3）/（x－1）｜＋c
＝1/［4（x－1）］－（1/16）ln｜x＋3｜＋（1/16）ln｜x－1｜＋c
∴原式＝（3/4）ln｜x＋3｜＋（5/4）ln｜x－1｜
　　　　　－1/（x－1）＋（1/4）ln｜x＋3｜－（1/4）ln｜x－1｜＋c
　　　＝1/（1－x）＋ln｜x＋3｜＋ln｜x－1｜＋c
注：若原题不是我所猜测的那样，则请你补充说明。