Question

已知函数f(x)=(根号下x)+1x属于【1，9】.求函数g(x)=f(x-1)-f(x^2)的值域

Answer 1

这题的定义域很容易求错。楼上几位都犯了一些错误，现把我的解答给出如下：
因为f(x)=1+√x，x属于[1,9],所以
g(x)=f(x-1)-f(x²)=[1+√(x-1)]-[1+√(x²)]
其中1≤x-1≤9,1≤x²≤9，即定义域为
2≤x≤3
所以
g(x)=1+√(x-1)-(1+x)=√(x-1)-x
易看出在定义域上g(x)≤0
令t=√(x-1)，则x=t²+1，1≤t≤√2，
g(x)=√(x-1)-x=t-t²-1=-(t-0.5)²-0.75
函数开口向上，在2≤x≤3即1≤t≤√2上单调递减，
t=1即x=2时最大，g(x)≤-1
t=√2即x=3时最小，g(x)≥√2-3
所以定义域为[2,3]，值域为[√2-3,-1].
用微积分方法解，就是：
g(x)导数为g'(x)=0.5/√(x-1)-1
由g'(x)=0可得x=1.25
当2≤x≤3时g'(x)<0，故在定义域上函数g(x)为单调减函数，
所以g(x)≤g(2)=-1
g(x)≥g(3)=√2-3