Question

用拉格朗日中值定理证明不等式(b-a)/b<㏑b/a<(b-a)/a

Answer 1

如果a<0,b<0，用-a,-b代替。
如果a>b，可以交换a和b的地位，要证的不等式和a<b的情形形式一样。
下面只讨论a<b的情形。
(ln
x)'
=
1/x
由中值定理，存在a<c<b使得
lnb
-
ln
a
=
(b-a)
*
(ln
c)'
=
(b-a)/c
由于a<c<b，所以1/b
<
1/c
<
1/a，代入上式，得
(b-a)/b
<
lnb
-
lna
<
(b-a)/a，证毕