Question

帮忙解答一道数学题

关于x的方程（x^2-1）^2-|x^2-1|+k=0,给出下列命题，假命题的个数为几个？
1，存在实数x使得方程恰有2个不同的实根
2，存在实数x使得方程恰有4个不同的实根
3，存在实数x使得方程恰有5个不同的实根
4，存在实数x使得方程恰有8个不同的实根
请讲一下原因，谢谢。

Answer 1

设|x^2-1|=t,
则(x^2-1)^2=|x^2-1|^2=t^2
t^2-t+k=0,
t1*t2=k,t1+t2=1/2
此方程有两个小于1/2的正根t1,t2,
则|x^2-1|=t1或t2,x^2=1±t1,x^2=1±t2,
这样共有8个根
如果一根为0,则k=0,t^2-t=0,
t=1或0,
t=1,x^2=1±1=0或2,
t=0,x^2=1,共有3+2=5个根
t1,t2一正一负，因为|x^2-1|≥0,不可能是负数，
所以|x^2-1|=t1,x^2=1±t1,共有4个根，
如果t1＞1,则x^2=1+t1,此时有2个根
所以都是真命题

Answer 2

假命题的个数为3个,只有"2，存在实数x使得方程恰有4个不同的实根"是对的.