Question

1*2*3*4*5*6*7*8*9*...*n等于多少，急急急！！！

1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×............×n等于多少呢,请用含n的代数式表示,不胜感激啦,若不能表示,请说明理由 1×﹙1-4﹚+2×﹙2-4﹚+3×﹙3-4﹚+4×﹙4-4﹚+5×﹙5-4﹚.....n×﹙n-4﹚等于多少呢；若减5呢,减6呢,减7呢,.....减m呢?跪求世外高人解答,(答出有50分悬赏)

Answer 1

第一个，已经是最简，有时简记n!。大学里会学一个Stirling公式来估算n!。
∑k*(k-m)=∑k^2-∑k*m=∑k^2-m*∑k=n*(n+1)*(2*n+1)/6-m*n*(n+1)/2
(以上对k求和，求和指标k=1
..
n)
令m=4即得欲求之代数式。
如果写长一点就是：
1*(1-4)+2*(2-4)+3*(3-4)+4*(4-4)+……+n*(n-4)
=1^2-1*4+2^2-2*4+3^2-3*4+……+n^2-n*4
=1^2+2^2+3^2+……+n^2-4*(1+2+3+……+n)
=n*(n+1)*(2*n+1)/6-4*n*(n+1)/2。
这里用到了公式1^2+2^2+3^2+……+n^2=n*(n+1)*(2*n+1)/6，可参见小学数学奥林匹克初级读本（魏有德主编，四川大学出版社，大概是1990年出版），也可参见第三届华罗庚金杯少年数学邀请赛专辑（上面有初等的证明）