Question

高中解析几何

设圆C过顶点A（p，0），其中p>0，圆心C在抛物线Y^2=2px上运动,MN为圆C在Y轴截得的弦
(1)问MN是否随圆心C的运动而变化?证明你的结论
(2)当|OM|+|ON|=2|OA|(其中O为坐标原点)时,判断抛物线的准线与圆C的位置关系

Answer 1

(1)设圆心C(c,根号2pc)
圆C方程(x-c)^2+(y-根号2pc)^2=r^2………………①
过点A（p，0）
(p-c)^2+(0-根号2pc)^2=r^2…………………………②
由①②得x^2-2xc+y^2-2y根号2pc=p^2-2pc,p＞0 c≥0
令c=0得y^2-2y根号2pc-p^2+2pc=0
点M(Xm,Ym)、N(Xn.Yn)的纵坐标为该方程两解。
即MN^2=(Yn-Ym)^2=(Yn+Ym)^2-4YnYm
Yn+Ym=2倍根号2pc
YnYm=2pc-p^2
MN^2=4(p^2)
MN=2p
所以MN不是随圆心C的运动而变化。
(2)由题意应该知道M或N中至少有一根为正
当YnYm=2pc-p^2≥0时，2c≥p，即两个根均为正值
|OM|+|ON|=Yn+Ym=2倍根号2pc=2|OA|=2p，p＞0
得p=2c
圆C方程为(x-c)^2+(y-2c)^2=5(c^2)
抛物线的准线x=-p/2=-c与圆C相交
当YnYm=2pc-p^2＜0时，2c＜p，即两个根一正一负
|OM|+|ON|=|Yn-Ym|
(|OM|+|ON|)^2=(Yn-Ym)^2=4p^2=(2|OA|)^2=4p^2
恒成立
2c＜p
易知也是相交。
综上抛物线的准线与圆C相交。