Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3...

已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）． （1）若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的解析式； （2）若f（x）＞（a-1）x2-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

解：（1）二次函数f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3），
即ax2+（b+2）x+c＞0的解集为（1，3），
说明a＜0，方程ax2+（b+2）x+c=0的两根为1和3．
根据韦达定理，-b+2a=1+3=4，ca=1×3=3．
∴b=-4a-2，c=3a．
函数化为f（x）=ax2-（4a+2）x+3a，
方程f（x）+6a=0有两个相等的根，
即ax2-（4a+2）x+9a=0有两个相等的实根，
则△=[-（4a+2）]2-36a2=16a2+16a+4-36a2=0，
解得：a=1（舍去），或a=-15．
∴b=-4a-2=-4×(-15)-2=-65，c=3a=3×(-15)=-35．
∴f(x)=-15x2-65x-35；
（2）由f（x）＞（a-1）x2-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，
即-15x2-65x-35＞（a-1）x2-3（a+1）x对x∈（1，2）恒成立，
也就是（5a-4）x2-（15a+9）x+3＜0对x∈（1，2）恒成立，
当5a-4=0，即a=45时，不等式化为x＞17，满足x∈（1，2）；
当5a-4≠0时，要使（5a-4）x2-（15a+9）x+3＜0对x∈（1，2）恒成立，
令g（x）=（5a-4）x2-（15a+9）x+3．
则5a-4＞0g(1)=-10a-10≤0g(2)=-10a-31≤0①或5a-4＜015a+92(5a-4)≤1g(1)=-10a-10≤0②或5a-4＜015a+92(5a-4)≥2g(2)=-10a-31≤0③
解①得，a＞45．
解②得，-1≤a＜45．
解③得，a∈∅．
综上，实数a的取值范围是[-1，+∞）．