Question

高二数学题，很急!已知函数f(x)=a^x/(a^x+根号a)(a>0且a不等于1)

已知函数f(x)=a^x/(a^x+根号a)(a>0且a<>1),an=根号af(n)/f(1-n),对一切自然数n,猜想,使an>n^2成立的最小自然数a,并证明之

Answer 1

已知函数f(x)=a^x/(a^x+√a)(a>0且a≠1),a‹n›=(√a)f(n)/f(1-n),对一切自然数n都成立，猜想使a‹n›>n²成立的最小自然数a,并证明之
解:a‹n›=(√a)f(n)/f(1-n)=(√a)[(aⁿ)/(aⁿ+√a)]/[(a¹ֿⁿ)/(a¹ֿⁿ+√a)]
=(√a)[(aⁿ)/(aⁿ+√a)]×[a+(√a)aⁿ]/a=[(aⁿ)/(aⁿ+√a)]×[(√a)+aⁿ]=aⁿ>n²
使aⁿ>n²成立的最小的a=3.，即对一切自然数n，都有3ⁿ>n².
证明:下面我们用归纳法证明之。
当n=1时3>1，显然不等式成立;当n=2时3²>2²成立;设当n=k≧2时不等式3^k>k²成立;那么当n=k+1时，由于3^(k+1)=3(3^k)>3k²=k²+k²+k²
>k²+2k+1=(k+1)²，故证。