Question

a>=2,是给定的正整数,证明对任意正整数n,必有唯一的整数k>0,使a^k

Answer 1

证明：问题即证对任意正整数n，满足不等式a^k≤n。

先证存在性：取k=[(根号(8n+1)+1)/2]，则L=n-k(k-1)/2=n-(1+2+...+k-1)，k，L均为整数，这里[x]表示不超过x的最大整数。

x-1＜[x]≤x，则1≤(根号(8n+1)+1)/2-1＜k≤(根号(8n+1)+1)/2，于是0＜1/2＜k-1/2≤根号(8n+1)/2，k+1/2＞根号(8n+1)/2，所以(k-1/2)²≤(8n+1)/4，(k+1/2)²＞(8n+1)/2。

含义

和整数一样，正整数也是一个可数的无限集合。在数论中，正整数，即1、2、3……；但在集合论和计算机科学中，自然数则通常是指非负整数，即正整数与0的集合，也可以说成是除了0以外的自然数就是正整数。正整数又可分为质数，1和合数。正整数可带正号（+），也可以不带。

Answer 2

证明：问题即证对任意正整数n,满足不等式a^k≤n