Question

弹性波动方程物理含义？

Answer 1

从宏观上讲，弹性模量表征了材料在一定的应力作用下发生弹性变形的难易程度，弹性模量越大发生变形越难。从原子间相互作用力角度来看，弹性模量则表征了原子间结合力强弱的程度，弹性模量越大，意味着原子间结合力也越大。

如，由分子组成的材料，原子先通过分子内结合力（如离子键、共价键）组成分子，分子再通过分子间结合力（如极性共价键）组合成物质。通常情况下，分子间的结合力要比分子内结合力小的多。材料在发生弹性变形时，可认为是分子间距被拉大/压缩，分子间结合力随之改变所产生的结果。
对于金属原子，由于其最外层与原子核的结合力较弱，很容易脱离原子核的束缚而变成自由电子。当一群金属原子聚集时，所有金属原子的最外层电子、甚至是次外层电子都有可能脱离原子核的束缚，变成自由电子，这些电子为所有的原子所共有，形成电子云。失去电子的原子变成离子，而离子就沉浸在电子云中。金属离子与公有化电子的静电作用结合而成金属键，形成金属材料。

从微观粒子的结合强度来看，金属键等价于分子内作用力，其结合强度要远高于分子间结合力（如极性共价键），因此金属材料（如钢）相比于分子材料（如塑料）更难以发生弹性变形。我们可通过图3所示为双原子受力模型来理解原子间的结合力。当双原子被压缩时，原子之间将产生抵抗压缩的排斥力；双原子被拉伸时，将产生抵抗拉伸的吸引力。一般认为，原子间的引力是正离子（失去电子的原子核）和自由电子之间的库伦引力产生的，斥力是由正离子和正离子、电子和电子之间的斥力产生的。

Answer 2

弹性波动方程物理含义？最近的一项研究表明, 非均匀介质中的初应力梯度在弹性波动传播过程中发挥了重要的作用, 从而为地震勘探、复合材料探伤、弹性波超材料设计等领域的研究提供了新的思路.

此项名为“The form-invariance of wave equations without requiring a priori relations between field variables”的研究论文发表于SCIENCE CHINA Physics, Mechanics & Astronomy, 2014年第12期上, 由清华大学航天航空学院工程力学系向志海副教授撰写.

众所周知, 大气折射率的不均匀分布会使光线拐弯, 从而有可能产生海市蜃楼等奇特的自然景观. 受此启发, 近年来人们成功地设计出很多可以改变电磁波和声波传播路径的非均匀材料, 实现了隐身衣、平面透镜等有特殊功能的器件. 这类特殊的材料常被称为超材料. 为使超材料在各个方向都具有同样的绕波效果, 可对波动方程进行坐标变换来获得等效的材料参数. 这种方法的基础是波动方程在坐标变换下的形式不变性. 在引入变换前后的场变量之间特殊关系的前提条件下, 人们已经证明电磁波和声波方程具有形式不变性, 但是传统的弹性波方程却不具有此性质. 另外, 虽然可以证明Willis教授早年提出来的弹性波动方程具有形式不变性, 但是由于其物理意义不明确, 也没有得到大家的普遍接受. 这些原因导致了弹性波超材料方面的研究进展非常缓慢.

该研究的创新之处是在证明波动方程的形式不变性时, 没有用到变换前后场变量之间的任何关系, 从而更加揭示了形式不变性是波动方程的本征属性. 同时, 还获得了能更加精确地描述非均匀介质中弹性波动现象的方程. 和传统的弹性波动方程相比, 该方程中包含了初应力的梯度项, 并且在形式上非常接近Willis方程. 利用这组新方程, 首次成功地设计出了完美的弹性波旋转器和近似完美的弹性波隐身器.

Answer 3

对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是：

波动方程

{ \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u

这里c通常是一个固定常数，也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速)。对于弦的振动，这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky），它可以慢到1米/秒。但若c作为波长的函数改变，它应该用相速度代替：

v_\mathrm = \frac{\omega}.

注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在气流之类的移动媒介中）。那种情况下，标量u会包含一个马赫因子(对于沿着流运动的波为正，对于反射波为负)。

u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量。对于空气中的声波就是局部气压，对于振动弦就使从静止位置的位移。\nabla^2 是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。注意u可能是一个标量或向量。



波动方程：