在数列{a n }中，a 1 =2，且 a n + a n+1 =2(n+1 ) 2 ，n∈ N * ．（1）求a 2 ，a 3 ，a 4
在数列{an}中，a1=2，且an+an+1=2(n+1)2，n∈N*．（1）求a2，a3，a4；（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．...
在数列{a n }中，a 1 =2，且 a n + a n+1 =2(n+1 ) 2 ，n∈ N * ． （1）求a 2 ，a 3 ，a 4 ； （2）猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．
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（1）a
2
=6，a
3
=12，a
4
=20；…（6分）
（2）猜想
a
n
=n(n+1)， n∈
N
*
；
用数学归纳法证明：
1）当n=1时，a
1
=1×（1+1）=2，命题成立
2）假设当n=k（k≥1）时命题成立．即a
k
=k（k+1）
那么当n=k+1时，
a
k+1
=2(k+1
)
2
-
a
k
=2(k+1
)
2
-k(k+1)
=(k+1)(2k+2-k)
=(k+1)(k+2)
=(k+1)[(k+1)+1]
所以，当n=k+1时命题也成立
由1），2）可得对于任意的正整数n，
a
n
=n(n+1)， n∈
N
*
．…（12分）
2
=6，a
3
=12，a
4
=20；…（6分）
（2）猜想
a
n
=n(n+1)， n∈
N
*
；
用数学归纳法证明：
1）当n=1时，a
1
=1×（1+1）=2，命题成立
2）假设当n=k（k≥1）时命题成立．即a
k
=k（k+1）
那么当n=k+1时，
a
k+1
=2(k+1
)
2
-
a
k
=2(k+1
)
2
-k(k+1)
=(k+1)(2k+2-k)
=(k+1)(k+2)
=(k+1)[(k+1)+1]
所以，当n=k+1时命题也成立
由1），2）可得对于任意的正整数n，
a
n
=n(n+1)， n∈
N
*
．…（12分）
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