Question

高等数学 高数求积分

17-33题 要过程

Answer 1

这题应该算是挺难的题了吧。昨晚睡觉一直在想，才找到解决的思路和方法，这个结果已经经过我的检验，可以放心使用. 但过程你未必看得懂，我就在关键几个地方给你解释一下吧。

第二个等号后面，也就是第一步计算，利用了正弦和余弦的关系，因为d后面出来一个-x，第一个括号里面也有一个-x,所以对消，不用改变式子的符号；

第二行一开始利用了变换替换，令t=pi/2-x，因此t的上限是-pi/2，下限是pi/2, 上下限交换之后，就多了前面一个负号了。然后把积分拆成两上。前面一个是奇函数求原点对称区域的积分，等于0，所以最后就化简成第二行最后的那个积分，也是Jm的另一种形式，用于得出递推公式。

接下来第三行我直接运用了基本的积分公式，你不懂可以去查一查。

第四行化简出递推公式。发现结果与m的奇负性有关，由于设m=2k时，不能取k=0，否则会出现2k-1<0，所以先算一个m=0的情况；

我一开始以为只有m=0一种特殊情况，后来我发现连m=1也是特殊的情况，m=1时用递推公式，会出现m=-1的情况，所以又算了一个m=1的情况。

可以发现，如果以(-1)!!=1的话，m=2k的情况也包含了m=0的情况；

又可以发现，如果不考虑当m=1时，用递推公式会出现m=-1的情况的话，m=2k+1也包含了m=1的情况。

因此，可以再检验一下m=2或m=3的情况，m=2的情况我检验过了，希望你自己检验一下m=3的情况。

Answer 2

如图，仅供参考，希望可以帮你

追问

其他题还有吗？

Answer 3

分享解法和过程如下。17题，设t=x²。∴xdx=dt/2。原式=(1/2)∫dt/[t(1+t)]=(1/2)∫[1/t-1/(1+t)]dt=(1/2)[ln丨t丨-ln丨1+t丨]+C=(1/2)ln[x²/(1+x²)]+C。【33题，跟本题型相同，令t=x^7，仿17题步骤，可得，原式=(1/7)ln[(x^7)/(1+x^7)]+C。】

18题，分部积分法。原式=xarctanx-∫xdx/(1+x²)=xarctanx-(1/2)ln(1+x²)+C。19题，连续两次用分部积分法，原式=(cosx+sinx)e^x-∫(cosx)e^xdx。∴原式=(1/2)(cosx+sinx)e^x+C。
20题，令t=√x。原式=2∫ln(1+t)dt=2[(1+t)ln(1+t)-t]+C=2[(1+√x)ln(1+√x)-√x]+C。21题，原式=∫(e^x-1/√x)dx=e^x-2√x+C。
22题，原式=(1/ln3)3^x+(1/ln5)5^x+C。23题，原式=∫(csc²x-1)dx=-cotx-x+C。
24题，原式=∫(sec²x+1/x²)dx=tanx-1/x+C。25题，原式=∫(csc²x+sec²x)dx=tanx-cotx+C。
26题，与25题相同。27题，cos2x=cos²x-sin²x，∴原式=∫(cosx+sinx)dx=sinx-cosx+C。
28题，y=∫x²√xdx=(2/7)x^(7/2)+C。又，x=0时，y=1，∴c=1。y=(2/7)x^(7/2)+1。
29题，y'=1/x。∴y=ln丨x丨+C。x=e²，y=3。∴C=1，y=ln丨x丨+1。30题，∵f(x)=ln²x+C，∴f'(x)=(2/x)lnx。31题，原式=(1/2)f²(arcsinx)+C。
32题，原式=∫dx/(3cos²x+4sin²x)=∫d(tanx)/(3+4tan²x)=[1/(2√3)]arctan[(2tanx)/√3]+C。
供参考。