Question

lim取0:（sinx-xcosx）/｛(e^x-1)【(1+x*x)^(1/3)-1】｝

答案写着：0.然而搞不出这个0，求过程

Answer 1

lim[x→0] (sinx-xcosx) /｛(e^x-1)【³√(1+x²)-1】｝
= [ lim[x→0] (sinx-xcosx) /x³ ] * [ lim[x→0] x³ /｛(e^x-1)【³√(1+x²)-1】｝]
前一个极限可以使用洛必达法则：
lim[x→0] (sinx-xcosx) /x³
= lim[x→0] (cosx-(cosx-xsinx)) /(3x²)
= lim[x→0] sinx /(3x)
= 1/3
后一个极限中，(e^x-1)可以用等价无穷小x来替换，即：
lim[x→0] x³ /｛(e^x-1)【³√(1+x²)-1】｝
= lim[x→0] x³ /｛x【³√(1+x²)-1】｝
= lim[x→0] x² /【³√(1+x²)-1】
（令t=x²，则x→0时有t→0）
= lim[t→0] t /【³√(1+t)-1】
（使用洛必达法则）
= 1/ 【(1/3)(1+t)^(-2/3)】
= 3
所以 原极限 = (1/3)*3 = 1