Question

若已知lim(an)=a 则 lim(a1+a2+..+an)/n=a 请问反之是否成立?要如何证明?

Answer 1

lim(n->∞)
an
=a
,求证:
lim(n->∞)
(a1+a2+..+an)/n=a
证明:
①
对任意
ε>0
,
∵
lim(n->∞)
an
=a
对
ε/2
>0
,存在
N1，当n>N1时,
|an-a|<ε/2，
令:
M
=
2(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|
+1)/ε
则当
n
>
max{
M
,
N1}
时:
|(a1+a2+..+an)/n
-
a|
≤
(|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n
+(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤
ε/2
+(n-N1)*ε/2/n
≤
ε/2+ε/2
=
ε
②
故存在
N
=
max{
[M]
,
N1}
∈Z+
③
当
n>N
时，
④
恒有:
|(a1+a2+..+an)/n
-
a|
<
ε
成立。
∴
lim(n->∞)
(a1+a2+..+an)/n=a
{本题最简洁的方法是直接套
O'Stoltz
定理即可}
反之不成立,
如反例
:
an
=
(-1)^n
lim(n->∞)
(a1+a2+..+an)/n
=
0
,但:
an
=
(-1)^n
发散.